【三角比】センター試験の問題を解いてみる（2019年度）
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問題【前編】
解答（解説）【前編】
ア・イ・ウ
余弦定理より、
\(\cos \angle BAC = \frac{3^2+2^2-4^2}{2\cdot 3\cdot 2}\)
よって、\[\cos \angle BAC=-\frac{1}{4}\]
エ
\(\cos \theta\)は\(90^\circ\)を超えると負の値になるという性質があります。\(90^\circ\)を超えると、鈍角ですから、エの解答は ②鈍角 です。
オ・カ・キ
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)ですから、
\(\sin \angle BAC = \sqrt{1-\left(-\frac{1}{4} \right)^2}\)
よって、
\[\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{15}}{4}\]
問題【後編】
解答（解説）【後編】
ク・ケ
\(\cos \angle CAD = \cos (180^\circ – \angle BAC)\)です。
ここで、\(\cos (180^\circ – \theta) = -\cos \theta\)という公式を使います。
したがって、\(\cos \angle CAD = -\cos \angle BAC\)が成り立ちますから、
\[\cos \angle CAD = \frac{1}{4}\]
コ
\(AD \sin \angle CAD = 1\)ですから、
\(AD \cdot \frac{1}{4} = 1\)
したがって、
\[AD=4\]
サ・シ・ス・セ
\(\triangle BDC = \triangle ADC + \triangle ABC\)です。
まず、\(\triangle ABC\)の面積を求めましょう。
正弦定理より、
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}\)
よって、
\(S_{ABC} = \frac{3\sqrt{15}}{4}\)
続いて、\(\triangle ADC\)の面積です。
\(S_{ADC} \frac{1}{2} \cdot 2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}\)
よって、\(S_{ADC} = \sqrt{15}\)
したがって、
\(\frac{3\sqrt{15}}{4} + \sqrt{15} = \frac{7\sqrt{15}}{4}\)
\[S = \frac{7\sqrt{15}}{4}\]
最後に
今回の問題を解く上で必要な知識は、
- 正弦定理
- 余弦定理
- \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
- 垂直二等分線
- 鈍角・鋭角
といったところでしょうか。どれも教科書で載ってるレベルの知識ですので難易度的には難しくはないですね。ややこしい計算も特にありませんでした。
といったところで、この記事の内容は以上です。何か参考になる情報があれば嬉しいです。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。