【2次関数】センター試験の問題を解いてみる（2002年度）

2021年5月18日

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問題

解答（解説）

ア

\(y=-4x^2+4(a-1)x-a^2\)に、\(x=1,y=-4\)を代入すると、

\(-4=-4+4(a-1)-a^2\)より、

\[a=-2\]

イ　ウ・エ・オ

頂点の座標は、平方完成によって求めることができます。

\(y=-4x^2+4(a-1)x-a^2\)を平方完成すると、\(y=-4\left(x-\frac{a-1}{2}\right)^2-2a+1\)

したがって、頂点の座標は

\[\left(\frac{a-1}{2},-2a+1\right)\]

カ　キ　ク

このグラフは上に凸のグラフなので、頂点が基本的には最大値となります。しかし、頂点が定義域から外れるときは最大値は別に存在します（定義域の右端か左端で頂点に近い方）。

\(a>1\)と書いてありますが、これが何を意味するかというと、頂点の\(x\)座標が0以上であるということです。

頂点が定義域の中に存在する場合

頂点の\(x\)座標は\(\frac{a-1}{2}\)です。これが定義域の中、つまり1以下になるということです。

\(\frac{a-1}{2}\text{≦}1\)より、\(a\text{≦}3\)

問題文の中に\(a>1\)とありましたので、このときの\(a\)の範囲は、\(1<\text{≦}3\)

この時の最大値は頂点です。したがって、\[-2a+1\]

頂点が定義域の外に存在する場合

\(a>3\)のときです。頂点は定義域の右外にありますので、最大値は定義域の右端です。\(x=1\)のときの\(y\)の値が答えです。

グラフの式\(y=-4x^2+4(a-1)x-a^2\)より、最小値は

\[-a^2+4a-8\]

ケ

\(a>1\)の場合は頂点の\(x\)座標が0以上となりますから、\(x=-1\)で最小値を取ります。\(x=-1\)をグラフの式に代入すると、求める最小値は

\[-a^2-4a\]

コ・サ

\(1<a\text{≦}3\)のとき

最大値は\(-2a+1\)、最小値は\(-a^2-4a\)ですから、差は\(a^2+2a+1\)となります。

\(a^2+2a+1=12\)より、\(a=-1\pm2\sqrt{3}\)

\(1<a\text{≦}3\)という条件がありますので、\(a=-1+2\sqrt{3}\)のみが該当します。

\(3<a\)のとき

最大値は\(-a^2+4a-8\)、最小値は\(-a^2-4a\)ですから、差は\(8a-8\)

\(8a-8=12\)より、\(a=\frac{5}{2}\)

\(a=\frac{5}{2}\)は\(3<a\)を満たしていないため、該当なしとなります

したがって、唯一条件に当てはまった\(a=-1+2\sqrt{3}\)が答えです。

まとめ

今回の問題を解く上で理解しておくべき事項をまとめておきます。

今回の内容は以上です。何か参考になる情報があれば嬉しいです。

最後までお読みいただき、ありがとうございました。