【高校数学Ⅰ】sinθって結局何なの？について説明します
高校生の数学で遭遇する謎の文字列がいくつかありますよね。logやらcosやらtanやらsinやら…
中学生まででは出てこなかった内容なのでいきなり出てきて混乱すると思います。
今日はその中で、sinについて説明したいと思います。
sinの説明の前に、三角関数や三角比の分野の理解を進めていく場合は、まず「三平方の定理」を理解しておいた方がよいでしょう。別のページで解説しているので、必要な場合はどうぞ。
sinって何？sinθって何を表してるの？という部分ですね。
では、結論から述べます。
結論
sinについて述べる前に"正弦"っていうやつについて理解する必要があります。
正弦とは、直角三角形における、角と相対する辺の長さの、直角に相対する辺の長さに対する比のこと。
続いて、sinとは
正弦を導く三角関数。
以上です。
…
これで「あー、そういうことね。」って理解できた人はここから下は読まなくて大丈夫です。
でも、頭の中が「？？？」ってなってる人も居ますよね。私も最初この文を読んだときは噛み砕くまではよく分かりませんでした。かまいたちの漫才の中で出てきた「もし俺が謝ってこられてきてたとしたら、絶対に認められてたと思うか！？」を思い出しましたね（笑）
話が逸れましたが、正弦とsinについて説明していきたいと思います。
正弦とは
先程の説明文を紐解いていきましょう。
「正弦とは直角三角形における、角と相対する辺の長さの、直角に相対する辺の長さに対する比のこと。」でしたね。
図を作ったのでそちらを見てもらいましょうか。
「角と相対する辺の長さ」とは何を言っているのかといいますと、bの長さのことです。もし、θの場所を直角以外のもう一方の場所に変更するなら「角と相対する辺の長さ」とはaのことを言ってることになります。
つまり、「直角以外の2つの角のうち1つの角に注目して、その角と向かい合っている辺の長さ」と言い換えられますね。
続きまして、「直角に相対する辺の長さ」とはどの部分でしょうか？考え方は先程と同じです。cのことですね。こちらは直角が1つしかないので、簡単ですね。
では文字を使って先程の文を整理すると…
「正弦とは直角三角形におけるbの長さのcの長さに対する比のこと。」となります。
まだ少し分かりにくいかもしれませんね。
例えば、時速を例に考えましょう。同じように文章で説明すると、
「時速とは、"車が走った距離"の"時間"に対する比のこと。」と言えますね。距離と時間は単位が違いますが、距離は「どのくらいの長さを進んだのか」時間は「どのくらいの長さの時間が経過したのか」を表しているので、どちらも「長さ」を表しているわけです。距離を計るのか時間を計るのかで単位は変わりますがどちらも長さを表しているといると考えれば、先程の正弦の文章と似たような構造です。
時速は距離を時間で割りますよね。「時間」を基準に考えています。
30キロを2時間で走るA車と、40キロを3時間で走るB車でどちらが速いのかを考えるとき、それぞれ1時間でどのくらい進んだのかというのを考えるため距離を時間で割ります。
これを使って、先程の正弦の文章を変換すると、「正弦とは、cの長さを1としたときのbの長さ」となります。
それで計算方法ですが、bをcで割ればいいんですね。これで正弦が何なのかが分かりましたね。
続いてはsinです。
sinとは
先程、「sinとは正弦を導く三角関数。」と述べました。ところで、「三角関数」って何だか分かりますか？
三角関数について
Wikipediaでは三角関数を以下のように説明しています。
角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族
および、それらを拡張して得られる関数の総称である。
これに関しては、ふ～んって思ってていいと思います。笑
要するに三角関数と呼ばれる関数の群れがあって、その中の1つがsinってわけですね。
関数について
三角関数も関数の一部なわけですが、そもそも「関数」ってどういうものだか分かりますか？
「入力された値に対して、ある決まった内容の計算を行い、入力された値に応じた処理結果を返す数式」を関数と呼びます。
以上の内容を踏まえたうえで…
sinというのは、「正弦を導くための関数であり、角と相対する辺の長さを直角に相対する辺の長さで割るという計算が行われる関数。」だと述べることができます。
sinの使い方
sinは、実際に角度を30°や60°と決めて値を出すこともありますが、どちらかというと角度をθと仮置きして使うことが多いです。
角度がθのときのsin関数の値を求めるときは、sinθ=□□と言った書き方をします。
例えば図2のような場合、sinθの値は以下のようになります。
\[\sin \theta = \frac{3}{5} \]
補足・まとめ
「角と相対する辺」というのは、一般に「対辺」
と呼びます。
「直角に相対する辺」は「斜辺」と呼ばれます。
今回の内容をまとめると…
・斜辺の長さに対する対辺の長さのことを正弦という。
・正弦を導く関数をsinという。sinは以下のような計算を行う。
図3において、
\[ \sin\theta=\frac{b}{c} \]
今回は正弦とsin関数について解説しました。次の記事ではcosについて解説しようと思います。
最後までお読みいただきありがとうございました。