【2次関数】センター試験の問題を解いてみる（2006年度）
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Contents
問題【前編】
解答（解説）【前編】
ア・イ・ウ・エ・オ
\(y\text{≦}0\)ですので、\(6x^2+11x-10\text{≦}0\)が成り立ちます。この式を解くと…
\[-\frac{5}{2}\text{≦}x\text{≦}\frac{2}{3}\]
カ・キ・ク・ケ・コ・サ
\(y=6x^2+11x-10\)を平方完成すると、\(y=6(x+\frac{11}{12})^2-\frac{121}{24}-10\)
\(G\)はこのグラフを\(x\)軸方向に\(a\)、\(y\)軸方向に\(b\)だけ動かしたものなので、\(G\)の式は
\(y=6(x+\frac{11}{12}-a)^2-\frac{121}{24}-10+b\)
\(G\)は\((0,0)\)を通るから、式に\(x=0\)、\(y=0\)を代入すると…
\(0=6(\frac{11}{12}-a)^2-\frac{121}{24}-10+b\)
これを整理すると…
\[b=-6a^2+11a+10\]
シ・ス・セ・ソ・タ
\(y=6(x+\frac{11}{12}-a)^2-\frac{121}{24}-10+b\)に\(b=-6a^2+11a+10\)を代入すると、
\(y=6(x+\frac{11}{12}-a)^2-\frac{121}{24}-10-6a^2+11a+10\)
これを整理すると…
\[y=5x^2-(12a-11)x\]
問題【後編】
解答（解説）【後編】
チ・ツ・テ・ト
\(y=5x^2-(12a-11)x\)に\(x=-2\)を代入した式を①とし、\(x=3\)を代入した式を②とすると…
\(y=24-(12a-11)(-2)\text{…①}\)
\(y=54-3(12a-11)\text{…②}\)
①＝②ですから、
\(24-(12a-11)(-2)=54-3(12a-11)\)
これを解くと、
\[a=\frac{17}{12}\]
ナ・ニ・ヌ
\(y=5x^2-(12a-11)x\)に\(a=\frac{17}{12}\)を代入すると、\(y=6x^2-6x\)です。このグラフの頂点は\((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\)です。
頂点が\(-2\text{≦}x\text{≦}3\)の中にあるので、頂点がそのまま最小値となります。
したがって、最小値は
\[-\frac{3}{2}\]
ネ・ノ
\(x=-2\)のと\(x=3\)のどちらかで最大値をとりますが、今回は\(x=-2\)と\(x=3\)が一緒になります。\(a\)の値を求めるときに、\(x=-2\)のときと\(x=3\)のときの値が同じになるように調整しましたからね。
ここでは、\(x=3\)をグラフの式に代入することにします（x=-2を代入しても同じ値が出てきます）。
\(y=6x^2-6x\)に\(x=3\)を代入すると\(y=36\)
したがって、最大値は36
まとめ
今回の問題を解く上での重要ポイントをまとめてみました↓
下に凸のグラフ\(f(x)\)について考える（\(-2\text{≦}x\text{≦}3\)）。グラフの軸を\(x=a\)とすると…
- 最小値は以下のように決まる。
- \(a<-2\)のとき ＝ \(x=-2\)で最小値をとる
- \(-2\text{≦}a\text{≦}3\)のとき ＝ \(x=a\)で最小値をとる
- \(a>3\)のとき ＝ \(x=3\)で最小値をとる
- 最大値は以下のように決まる。
- \(a<\frac{1}{2}\)のとき ＝ \(x=3\)で最大値をとる
- \(a>\frac{1}{2}\)のとき ＝ \(x=-2\)で最大値をとる
- \(a=\frac{1}{2}\)のとき ＝ \(x=3,x=-2\)で最大値をとる
今年度は、問題の難易度は易しめでしたが、その分計算が面倒でした（笑）。
今回の内容はここまでです。何か参考になる情報があれば嬉しいです。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。