【2次関数】センター試験の問題を解いてみる（2010年度）
Contents
問題【前編】
解答（解説）【前編】
ア・イ・ウ
\(G_2\)の頂点は、②式の平方完成によって求めることができます。点\((-a,-a^2+b)\)となります。
この頂点が、\(G_1\)上にあるので、\(G_1\)のグラフの式①に\(x=-a\)と\(y=-a^2+b\)を代入します。すると…
\(-a^2+b=3(-a)^2-2\cdot(-a)-1\)
これを変形すると、
\[b=4a^2+2a-1\]
となります。
エ・オ
\(y=-a^2+b\)に\(b=4a^2+2a-1\)を代入して整理すると…\(3a^2+2a-1\)
したがって、\(G_2\)の頂点を\(a\)を使って表すと、点\((-a,3a^2+2a-1)\)となります。
問題【後編】
解答（解説）【後編】
カ・キ・ク ケ・コ・サ
\(G_2\)の\(y\)座標は\(3a^2+2a-1\)なので\(a\)の2次式です。ということは、平方完成すれば最小値（頂点）が分かりますね。
平方完成すると、\(3(a+\frac{1}{3})^2-\frac{4}{3}\)
したがって、\(a=-\frac{1}{3}\)のときに最小値\(-\frac{4}{3}\)をとります。
シ・ス セ・ソ・タ・チ
\(b\)の値はこれまでの過程で求めたので、\(G_2\)の式は\(y=x^2+2ax+4a^2+2a-1\)となります。
さらに、ここでは\(a=-\frac{1}{3}\)と決められているので、\(G_2\)の式は\(y=x^2-\frac{2}{3}x-\frac{11}{9}\)となります。グラフの軸（頂点の\(x\)座標は\(-a\)でしたので、
\[x=\frac{1}{3}\]
\(x\)軸との交点の座標は、\(x^2-\frac{2}{3}x-\frac{11}{9}=0\)を解くことにより、求められます。
計算すると…
\[x=\frac{1\pm2\sqrt{3}}{3}\]
ツ テ・ト・ナ
\(y=x^2+2ax+4a^2+2a-1\)が点\((0,5)\)を通るので、\(x=5\)、\(y=0\)を代入します。
\(5=4a^2+2a-1\)
これを解くと、\(a=-\frac{2}{3},1\)となります。
ニ
\(a=1\)のときの関数の式は、\(y=x^2+2x+5\)です。頂点は点\((-1,4)\)です。
\(x\)軸方向に\(c\)、\(y\)軸方向に\(c\)だけ平行移動した点は、点\((-1+c,4+c)\)と表せます。この点が\(G_1\)上に存在するので、\(G_1\)の式に\(x=-1+c\)、\(y=4+c\)を代入します。
\(4+c=3(c-1)^2-2(c-1)-1\)
これを解くと、\(c=0,3\)となり、\(c\neq0\)より、\(c=3\)
したがって、ニに当てはまるのは3です。
まとめ
今回は、2011年度以降の問題と比較すると易しめのように感じました。他の年度の問題を解く時には、最大値や最小値について深く理解しておく必要がありましたが、今年度の問題は式変形でほぼ解けてしまうので、最後にまとめておくような重要なポイントは特にありません…（笑）
というわけで、今回はここで終わりです。何か参考になる情報があれば嬉しいです。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。